MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Nội dung bài bác Một số phương trình lượng giác thường chạm chán sẽ reviews đên các em dạng và phương thức giải những Phương trình hàng đầu với một hàm số lượng giác,Phương trình bậc hai so với sin-cos-tan-cot, Phương trình bậc nhất với sinx với cosx. Thông qua các lấy ví dụ như minh họa được bố trí theo hướng dẫn giải các em sẽ nắm rõ được văn bản phần này, khiến cho tảng để giải những phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

Bạn đang xem: Một số phương trình lượng giác thường gặp


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình số 1 với một hàm con số giác

1.2. Phương trình bậc hai so với sinx, cosx, tanx, cotx

1.3. Phương trình hàng đầu đối với sinx cùng cosx

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 3 chương 1 giải tích 11

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp

3.2 bài tập SGK và nâng cấp về phương trình lượng giác hay gặp

4.Hỏi đáp bài bác 3 chương 1 giải tích 11


*

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng (at + b = 0) trong những số ấy a,b là những hằng số (left( a e 0 ight))và t là 1 trong các hàm con số giác.

Ví dụ: (2sin x - 1 = 0,;,,,c mos2x + frac12 = 0;,,,3 an x - 1 = 0;,,sqrt 3 cot x + 1 = 0)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Xem thêm: Ký Hiệu Kích Thước Dài Rộng Cao, Chiều Dài, Bài 1 : Đơn Vị Đo Độ Dài


a) Dạng phương trình

(eginarraylasin ^2x + bsin x + c = 0\acos ^2x + bcos x + c = 0\a an ^2x + b an x + c = 0\acot ^2x + bcot x + c = 0endarray)

b) cách giải

Đặt:

(t = sin x m ( - 1 le mt le m1))

(eginarraylt = cos x m ( - 1 le mt le m1)\t = an x\t = cot xendarray)

c) Chú ýNếu a là một số trong những cho trước nhưng mà ( an alpha ) khẳng định thì phương trình tanx = tana gồm nghiệm x = (alpha + )kp thoả đk (cos x e 0).Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì nên cần phải để ý đến điều kiện cosP(x) ( e) 0 cùng cosQ(x) ( e)0.

1.3. Phương trình số 1 đối cùng với sinx cùng cosx


a) Dạng phương trình

(asin x + bcos x = c m (1))

Điều kiện gồm nghiệm: (a^2 + b^2 ge c^2)

b) giải pháp giảiCách 1: Chia hai vế của (1) mang lại (sqrt a^2 + b^2 ), ta được:

(left( 1 ight) Leftrightarrow fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Vì (left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1) yêu cầu ta để (left{ eginarray*20csin varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \cos varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Phương trình trở thành:

(sin xsin varphi + cos xcos varphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow cos left( x - varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Đặt (cos alpha = fraccsqrt a^2 + b^2 ) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng rất có thể đặt (left{ eginarraylcos varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \sin varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Khi đó phương trình trở thành: (mathop m sinxcos olimits varphi + cosxsinvarphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow sin left( x + varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Cách 2:

· Xét (cos fracx2 = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi , m k in mathbbZ) gồm là nghiệm của (1) không

· Xét (cos fracx2 e 0 Leftrightarrow x e pi + k2pi ,k in mathbbZ)

Đặt (t = an fracx2). Lúc đó (sin x = frac2t1 + t^2) với (cos x = frac1 - t^21 + t^2)

Phương trình trở thành:

(a.frac2t1 + t^2 + b.frac1 - t^21 + t^2 = c Leftrightarrow left( b + c ight)t^2 - 2at + c - b = 0 m (2))

Giải (2) theo t, kiếm được t nạm vào (t = an fracx2) suy ra x

Cách 3:

Nếu (a e 0) phân chia 2 vế đến a rồi ta đặt ( an alpha = fracba) (left( { - fracpi 2 Ví dụ: 1

Giải những phương trình sau:

a) (2sin x - 1 = 0,.)

b) (c mos2x + frac12 = 0.)

c) (3 an x - 1 = 0.)

d) (sqrt 3 cot x + 1 = 0.)

e) (2cos x - sin 2x = 0)

Hướng dẫn giải:

a) (2sin x - 1 = 0, Leftrightarrow sin x = frac12 Leftrightarrow sin x = sin fracpi 6 Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 6 + k2pi \x = frac5pi 6 + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

b) (c mos2x + frac12 = 0 Leftrightarrow c mos2x = frac - 12 Leftrightarrow c mos2x = cos frac2pi 3)

( Leftrightarrow 2x = pm frac2pi 3 + k2pi left( k in mathbbZ ight) Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi left( k in mathbbZ ight))

c) (3 an x - 1 = 0 Leftrightarrow an x = frac13 Leftrightarrow x = arctan frac13 + kpi left( k in mathbbC ight))

d) (sqrt 3 cot x + 1 = 0 Leftrightarrow cot x = frac - 1sqrt 3 Leftrightarrow cot x = cot frac2pi 3 Leftrightarrow x = frac2pi 3 + kpi left( k in mathbbZ ight))

e) (cos x - sin 2x = 0 Leftrightarrow cos x - 2sin xcos x = 0 Leftrightarrow cos xleft( 1 - 2sin x ight) = 0)

( Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 0\1 - 2sin x = 0endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 0\sin x = frac12endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 2 + kpi \x = fracpi 6 + lpi \x = frac5pi 6 + lpi endarray ight.left( k,l in mathbbZ ight))

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) (2sin ^2x + sin x - 3 = 0)

b) (cos^2x + 3cosx - 1 = 0)

c) (3sin 2^2x + 7cos 2x - 3 = 0)

d) (frac1cos ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)

Hướng dẫn giải:

a) (2sin ^2x + sin x - 3 = 0(1))

Đặt (t = sin x), đk (left| t ight| le 1). Phương trình (1) trở thành:

(2t^2 + t - 3 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylt = 1;left( nhan ight)\t = frac32;left( loai ight)endarray ight.)

Với t=1, ta được (sin x = 1 Leftrightarrow x = k2pi left( k in mathbbZ ight))

b) (cos^2x + 3cosx - 1 = 0left( 2 ight))

Đặt (t = c mosx), điều kiện (left| t ight| le 1). Phương trình (2) trở thành:

(t^2 + 3t - 1 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylt = frac - 3 + sqrt 13 2left( nhan ight)\t = frac - 3 - sqrt 13 2left( loai ight)endarray ight.)

Với (t = frac - 3 + sqrt 13 2) ta được (c mosx = frac - 3 + sqrt 13 2 Leftrightarrow x = pm arccos frac - 3 + sqrt 13 2 + k2pi left( k in mathbbZ ight))

c) (3sin ^22x + 7cos 2x - 3 = 0 Leftrightarrow 3left( 1 - cos ^22x ight) + 7cos 2x - 3 = 0)

(eginarrayl Leftrightarrow 3cos ^22x - 7cos 2x = 0 Leftrightarrow cos 2xleft( 3cos 2x - 7 ight) = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylcos 2x = 0\3cos 2x - 7 = 0endarray ight.endarray)

*) Giải phương trình:(cos 2x = 0 Leftrightarrow 2x = fracpi 2 + kpi Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2,left( k in mathbbZ ight))

*) Giải phương trình: (3cos 2x - 7 = 0 Leftrightarrow cos 2x = frac73)

Vì (frac73 > 1) bắt buộc phương trình (3cos 2x - 7 = 0) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng (x = fracpi 4 + kfracpi 2,left( k in mathbbZ ight))

d) (frac1cos ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)

Điều kiện: (cos x e 0) (*)

(3)( Leftrightarrow 1 + an ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)( Leftrightarrow an ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x + sqrt 3 = 0)

Đặt (t = an x)

Khi đó phương trình trở thành: (t^2 - left( 1 + sqrt 3 ight)t - sqrt 3 = 0)( Leftrightarrow left< eginarray*20ct = 1\t = sqrt 3 endarray ight.)

+ với (t = 1 Leftrightarrow an x = 1)( Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi ,k in mathbbZ)

+ cùng với (t = sqrt 3 Leftrightarrow an x = sqrt 3 )( Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi ,k in mathbbZ)

So sánh với đk (*) suy ra nghiệm của phương trình là: (x = fracpi 4 + kpi ),

(x = fracpi 3 + kpi ) (left( k in mathbbZ ight))

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) (sqrt 2 sin 3x + sqrt 6 cos 3x = 2)

b) (left( 2 + sqrt 3 ight)sin x - cos x = 2 + sqrt 3 )

c) (2sqrt 2 left( sin x + cos x ight)cos x = 3 + cos 2x)

Hướng dẫn giải:

a) (sqrt 2 sin 3x + sqrt 6 cos 3x = 2(1))

(1)( Leftrightarrow sin 3x + sqrt 3 cos 3x = sqrt 2 )( Leftrightarrow sin 3x + an fracpi 3cos 3x = sqrt 2 )

( Leftrightarrow sin 3xcos fracpi 3 + sin fracpi 3cos 3x = sqrt 2 cos fracpi 3 Leftrightarrow sin left( 3x + fracpi 3 ight) = fracsqrt 2 2)

( Leftrightarrow left< eginarray*20c3x + fracpi 3 = fracpi 4 + k2pi \3x + fracpi 3 = frac3pi 4 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c3x = - fracpi 12 + k2pi \3x = frac5pi 12 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20cx = - fracpi 36 + frack2pi 3\x = frac5pi 36 + frack2pi 3endarray ight.,k in mathbbZ)

Vậy nghiệm của (1) là (x = - fracpi 36 + frack2pi 3), (x = frac5pi 36 + frack2pi 3) (left( k in mathbbZ ight))

b) (left( 2 + sqrt 3 ight)sin x - cos x = 2 + sqrt 3 ) (2)

Ÿ Xét (cos fracx2 = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi ) không là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét (cos fracx2 e 0)

Đặt (t = an fracx2). Khi ấy (sin x = frac2t1 + t^2) cùng (cos x = frac1 - t^21 + t^2)

Phương trình (2) trở thành: (left( 2 + sqrt 3 ight)frac2t1 + t^2 - frac1 - t^21 + t^2 = 2 + sqrt 3 )

(eginarrayl Leftrightarrow left( 2 + sqrt 3 ight)2t - 1 + t^2 = left( 2 + sqrt 3 ight)left( 1 + t^2 ight)\ Leftrightarrow left( 1 + sqrt 3 ight)t^2 - 2left( 2 + sqrt 3 ight)t + 3 + sqrt 3 = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20ct = 1\t = sqrt 3 endarray ight.endarray)

+ cùng với (t = 1 Leftrightarrow an fracx2 = 1)( Leftrightarrow fracx2 = fracpi 4 + kpi Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi ,k in mathbbZ)

+ Với(t = sqrt 3 Leftrightarrow an fracx2 = sqrt 3 )( Leftrightarrow fracx2 = fracpi 3 + kpi Leftrightarrow x = frac2pi 3 + k2pi ,k in mathbbZ)

Vậy nghiệm của (2) là (x = fracpi 2 + k2pi ), (x = frac2pi 3 + k2pi )(left( k in mathbbZ ight))

c) (2sqrt 2 left( sin x + cos x ight)cos x = 3 + cos 2x) (3)

(3)( Leftrightarrow 2sqrt 2 sin xcos x + 2sqrt 2 cos ^2x = 3 + cos 2x)

( Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + sqrt 2 left( 1 + cos 2x ight) = 3 + cos 2x)

( Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + left( sqrt 2 - 1 ight)cos 2x = 3 - sqrt 2 )

Điều kiện tất cả nghiệm của phương trình: (a^2 + b^2 ge c^2)

Khi đó: (2 + left( sqrt 2 - 1 ight)^2 ge left( 3 - sqrt 2 ight)^2 Leftrightarrow 5 - 2sqrt 2 ge 11 - 6sqrt 2 ) (không thỏa)