Cách Giải Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn

Trong công tác lớp 9, phương trình bậc nhất 2 ẩn có 2 phương thức để giải, đó là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, có sự khác hoàn toàn nào về ưu điểm yếu kém của 2 phương pháp này.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình bậc nhất 2 ẩn


Trong nội dung bài viết này, chúng ta thuộc tìm hiểu 2 phương pháp giải trên đối với phương trình số 1 2 ẩn. Giải những bài tập về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn cùng với từng phương thức cộng đại số và cách thức thế, đồng thời khám phá các dạng toán về phương trình số 1 2 ẩn, từ đó để thấy điểm mạnh của mỗi phương thức và áp dụng linh hoạt trong mỗi bài toán cụ thể.

I. Nắm tắt kim chỉ nan về phương trình hàng đầu 2 ẩn

1. Phương trình số 1 2 ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình hàng đầu hai ẩn: Phương trình hàng đầu hai ẩn ax + by = c luôn luôn tất cả vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì con đường thẳng (d) là đồ vật thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình biến đổi ax = c tuyệt x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng cùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình biến hóa by = c tốt y = c/b và con đường thẳng (d) song song hoặc trùng cùng với trục hoành

2. Hệ nhị phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

*
 , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ nhì phương trình số 1 hai ẩn

- điện thoại tư vấn (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, lúc ấy ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) cắt (d’) thì hệ gồm nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ gồm vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ nhị phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II. Cách giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số

a) Quy tắc cùng đại số

- Quy tắc cùng đại số dùng để thay đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm nhì bước:

- bước 1: cộng hay trừ từng vế nhì phương trình của hệ phương trình đã mang lại để được một phương trình mới.

- cách 2: sử dụng phương trình new ấy sửa chữa cho một trong các hai phương trình của hệ (và không thay đổi phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng cách thức cộng đại số.

- bước 1: Nhân những vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao để cho các thông số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ đều nhau hoặc đối nhau.

- cách 2: sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong các số đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bởi 0 (tức là phương trình một ẩn).

- bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa chiếm được rồi suy ra nghiệm của hệ đang cho.

 Ví dụ: Giải các hệ PT số 1 2 ẩn phía sau bằng PP cộng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn bằng phương pháp thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc nạm dùng để đổi khác một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Luật lệ thế bao gồm hai bước sau:

- cách 1: từ một phương trình của hệ đã mang đến (coi là phương trình thức nhất), ta màn trình diễn một ẩn theo ẩn tê rồi nuốm vào phương trình thức hai sẽ được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- bước 2: sử dụng phương trình bắt đầu ấy để sửa chữa thay thế cho phương trình thức nhị trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường xuyên được sửa chữa bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia đã có được ở cách 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- cách 1: dùng quy tắc nạm để đổi khác phương trình đã đến để được một hệ phương trình mới, trong những số đó có một phương trình một ẩn.

Xem thêm: Smart Tivi Lg 43 Inch 43Lj550T Full Hd, Lg Smart Tv

- cách 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ vẫn cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một số trong những dạng toán phương trình hàng đầu 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng cách thức thế

* Phương pháp: coi phần nắm tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài bác 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm nhất (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị (25/19;-21/19)

* nhấn xét: Qua bài 12 này, những em thấy cách thức thế vẫn sử dụng thuận tiện hơn khi một trong phương trình của hệ có các hệ số của x hoặc y là 1 hoặc -1. Khi đó chỉ việc rút x hoặc y làm việc phương trình có hệ số là một trong những hoặc -1 này và nỗ lực vào phương trình sót lại để giải hệ.

- Đối với những hệ PT trình mà không có hệ số như thế nào của x cùng y là một hoặc -1 thì câu hỏi sử dụng cách thức thế làm cho phát sinh các phân số và việc cộng trừ dễ có tác dụng ta không đúng sót hơn như là bài 13 bên dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương thức thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm tốt nhất (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm nhất (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết

Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cùng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* lời giải bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: lấy PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm duy nhất (2;-3)

b)

*

Lưu ý: đem PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm duy nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) cùng với 2 để thông số của x ở hai PT bởi nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm độc nhất vô nhị (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 3, 2 vế PT(2) cùng với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm nhất (5;3)

* nhấn xét: lúc không có ngẫu nhiên hệ số nào của x, y là 1 trong hay -1 thì phương thức cộng đại số giúp những em đỡ nhầm lẫn rộng trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- bước 1: Đặt điều kiện để hệ bao gồm nghĩa

- cách 2: Đặt ẩn phụ và đk của ẩn phụ

- cách 3: Giải hệ theo những ẩn phụ vẫn đặt (sử dụng pp cụ hoặc pp cùng đại số)

- cách 4: trở lại ẩn lúc đầu để tra cứu nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

 Đặt: 

*
 ta bao gồm hệ thuở đầu trở thành:

 

*

- quay trở về ẩn ban đầu x cùng y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, đề xuất hệ có nghiệm độc nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 với y ≠ 3 (mẫu số khác 0)

 Đặt: 

*
 ta có hệ ban sơ trở thành:

*

 Trở lại ẩn lúc đầu x với y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, đề nghị hệ gồm nghiệm độc nhất (-5/4;6)

Dạng 4: xác minh tọa độ giao điểm của 2 mặt đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình đường thẳng sẽ cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 và d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 với d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng một trong các 2 cách thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 với d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ xuất phát từ 1 phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương pháp thế) rồi rứa vào phương trình còn sót lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện công việc biện luận như sau:

- ví như a ≠ 0, thì x = b/a; cầm cố vào biểu thức để tìm y; hệ gồm nghiệm duy nhất.

- nếu a = 0, ta có, 0.x = b:

_ nếu như b = 0 thì hệ có rất nhiều nghiệm

_ nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- từ bỏ PT(1) ta có: y = mx - 2m, thế vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* trường hợp m ≠ ±1, ta có: 

*

lúc đó: 

*

⇒ Hệ bao gồm nghiệm duy nhất: 

* nếu m = -1, cố kỉnh vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* nếu m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ bao gồm vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)

Kết luận:

 - Nếu m = -1, hệ vô nghiệm

 - ví như m = 1, hệ gồm vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)

 - Nếu m ≠ ±1, hệ bao gồm nghiệp duy nhất: 

Dạng 6: xác minh tham số m để hệ PT thoả mãn điều kiện về nghiệm số

* Phương pháp:

- Giải hệ phương trình tra cứu x, y theo m

- Với đk về nghiệm số của đề bài tìm m

 Ví dụ: Cho hệ phương trình: 

*

tìm cực hiếm a ∈ Z, nhằm hệ bao gồm nghiệm (x;y) với x,y ∈ Z

* Lời giải:

- từ bỏ PT(2) ta có: x = a2 + 4a - ay, nạm vào PT(1) được

 (a+1)(a2 + 4a - ay) - ay = 5

⇔ a(a+2)y = a3 + 5a2 + 4a - 5 (*)

- Nếu a = 0 hoặc a = -2 thì (*) vô nghiệm

- ví như a ≠ 0 với a ≠ -2 thì: 

*

⇒ 

*

- thứ 1 tìm a ∈ Z nhằm x ∈ Z

*

- Để x ∈ Z thì a + 2 ∈ Ư(1) ⇒ a + 2 = ±1 ⇒ a = -3 hoặc a = -1

 Với a = -3 ⇒ 

*

 Với a = -1 ⇒ y = 5

⇒ Vậy với a = -1 hệ gồm nghiệm nguyên là (2;5)

Hy vọng với nội dung bài viết về cách giải phương trình hàng đầu 2 ẩn bằng cách thức cộng đại số và phương pháp thế ngơi nghỉ trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc hay góp ý những me hãy còn lại lời nhắn dưới phần comment để giftnab.store ghi nhận và hỗ trợ, chúc những em học bài bác tốt.