Bai Tap Định Lý Talet Trong Tam Giác

Với bài học kinh nghiệm này chúng ta sẽ mày mò về Định lí Ta-lét (Thalès) trong tam giác.

Bạn đang xem: Bai tap định lý talet trong tam giác

Đây là 1 trong định lí rất là quan trọng trong chương trình toán phổ thông.


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lí Talet vào tam giác

1.2. Định lí Talet tổng quát

2. Bài bác tập minh hoạ

3. Luyện tập Bài 1 Chương 3 Hình học 8

3.1 Trắc nghiệm vềĐịnh lí Ta-lét trong tam giác

3.2. Bài xích tập SGK vềĐịnh lí Ta-lét vào tam giác

4. Hỏi đáp bài 1 Chương 3 Hình học 8


*

a. Định lí thuận

Nếu một mặt đường thẳng cắt hai của một tam giác và tuy vậy song cùng với cạnh còn sót lại thì nó định ra trên nhì cạnh đó đều đoạn thẳng tương xứng tỉ lệ.

(Delta ABC;,,B"C",//BC, Rightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

b. Định lí đảo

Nếu một mặt đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác với định ra trên nhị cạnh này phần đa đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ thì mặt đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

(Delta ABC;,fracAB"AB = fracAC"AC Rightarrow B"C"https://BC)

Tóm tắt: (Delta ABC;,,B"C"https://BC Leftrightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

Chú ý: Định lí Talet thuận và đảo đúng đối với cả ba trường phù hợp hình vẽ sau:

c. Hệ quả

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và tuy nhiên song với cạnh còn lại thì nó tạo thành thành một tam giác bắt đầu có bố cạnh khớp ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

(Delta ABC;,,B"C"https://BC Rightarrow fracAB"AB = fracB"C"BC = fracC"ACA.)


1.2. Định lí Talet tổng quát


a. Định lí thuận

Nhiều mặt đường thẳng song song định ra bên trên hai cát tuyến bất kể những đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ.

(a//,,b,,//,,c Rightarrow fracABBC = fracA"B"B"C")

Chú ý: Ta chứng minh dễ dàng định lí này bằng cách kẻ qua A’ một mặt đường thẳng tuy nhiên song cùng với (Delta ), mặt đường này giảm b, c theo sản phẩm công nghệ tự tại những điểm B’’ với C’’. Thường thấy A’B’’ = AB, B’’C’’ = BC. Sau đó, áp dụng định lí Talet trong tam giác vào tam giác A’C’’C’ nhằm có:

(fracA"B"B"C" = fracA"B""B""C"".)

Từ phía trên suy ra kết luận.

*

b. Định lí đảo

Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai mèo tuyến (Delta ,,,Delta ") tại những điểm theo lắp thêm tự A, B, C và A’, B’, C’ vừa lòng đẳng thức tỉ lệ:

(fracABBC = fracA"B"B"C")

Và hai trong tía đường thẳng a, b, c là tuy vậy song cùng nhau thì mặt đường thẳng còn sót lại cũng tuy nhiên song với hai tuyến phố kia.

(fracABBC = fracA"B"B"C") và (a//b Rightarrow a//b//c)

c. Hệ trái (Các con đường thẳng đồng quy cắt hai tuyến đường thẳng song song)

- các đường thẳng đồng lao lý ra trên hai đường thẳng song song hầu như đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ.

(a//b Rightarrow fracABA"B" = fracBCB"C" = fracACA"C".)

- Ngược lại, nếu nhiều đường trực tiếp định ra trên hai tuyến đường thẳng song song những đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm.

(fracABA"B" = fracBCB"C" Rightarrow mAA",BB",CC") đồng quy tại O.

Việc chứng tỏ mệnh đề thuận được dựa trực tiếp vào định lí thuận của định lí Talet

Việc chứng minh mệnh đề hòn đảo thường được dựa vào vào cách thức chứng minh phản nghịch chứng.

Chú ý:

1. Bạn ta thường áp dụng định lí Talet vào việc chứng tỏ các hệ thức dạng.

(eginarraylfracab = fraccd\a.d = b.c\a^2 = b.cendarray)

Nhất là khi trong mang thiết mang đến ta những đường thẳng song song.

2. Định lí đảo của định lí Talet mang đến ta một cách chứng tỏ hai con đường thẳng tuy vậy song.

3. Hệ trái của định lí Talet tổng quá cho ta cách chứng minh các con đường thẳng đồng quy.

Ví dụ 1: đến tam giác ABC. Trên cạnh AC ta lấy hai điểm D, E làm thế nào cho AD = DE = EC. Trung tuyến đường AM giảm BD tại phường và trung tuyến CN cắt BE trên Q.

Xem thêm: Học Trực Tuyến Môn Toán Lớp 8 Đủ Môn Cùng Thầy Cô Giáo Giỏi, Nổi Tiếng

1. Chứng tỏ điểm Q là trung điểm của trung tuyến CN.

2. Chứng minh PQ // AC.

3. Suy ra (PQ = frac12MN) cùng (PQ = frac34DE.)

Giải

*

1. Nối AD. Bởi vì N là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE phải ND // BE giỏi QE // ND.

QE // ND cơ mà E là trung điểm của CD buộc phải suy ra Q là trung điểm của CN.

2. Lí luận như trên, ta chứng tỏ được p. Là trung điểm của AM.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Như vậy

(AG = frac23AM,,,AP = frac12AM)

Cho ta (GP = AG - AP = frac23AM - frac12AM = frac16AM)

( Rightarrow fracGPGA = frac16AM:frac23AM = frac14)

Chứng minh tương tự, ta có:

(fracGQGC = frac14) giỏi (fracGPGA = fracGQGC Rightarrow PQ//AC.)

3. PQ // AC mà lại MN // AC suy ra PQ // MN,

Cho ta (fracPQMN = fracGPGM = frac16AM:frac13AM Rightarrow fracPQMN = frac12)

( Rightarrow PQ = frac12MN)

(PQ = frac12MN) cơ mà (MN = frac12AC Rightarrow PQ = frac14AC)

Vì (PQ = frac14AC) và (DE = frac13AC Rightarrow fracPQDE = frac34)

( Rightarrow PQ = frac34DE.)

Ví dụ 2: mang đến tứ giác lồi ABCD. Đường trực tiếp qua B và tuy nhiên song với CD cắt AC trên F bà đường thẳng qua C tuy nhiên song với AB giảm BD tại E. Chứng tỏ EF // AD.

Giải

*

Gọi O là giao điểm của nhì đường chéo AC cùng BD

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác AOB.

(eginarraylEC//AB Rightarrow fracOCOA = fracOEOB\ Rightarrow OC.OB = OA.OE,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)endarray)

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác COD:

(eginarraylFB//DC Rightarrow fracOC mOF = fracODOB\ Rightarrow OC.OB = OD. mOF,,,,,,,,,,,,,,,,, m(2)endarray)

Từ (1) và (2) suy ra: (OA.OE = OD. mOF Rightarrow fracOAOF = fracODOE) (3)

Từ đẳng thức (3) theo định lí Talet đảo, ta gồm ngay EF // AD.

Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy. Bên trên cạnh Ox rước hai điểm D, E. Một con đường thẳng (d_1) qua D cắt cạnh Oy tại điểm F, đường thẳng (d_2) trải qua E và tuy vậy song với (d_1), cắt cạnh Oy tại điểm G. Đường trực tiếp (d_3)qua G và tuy nhiên song với EF, cắt cạnh Ox tại điểm H. Minh chứng hệ thức: (OE^2 = OD.OH.)

Giải

*

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác OEG:

(FD,,//,,EG Rightarrow fracODOE = frac mOFOG,,,,(1))

Với tam giác OGH, ta có:

(GH//FE Rightarrow fracOFOG = fracOEOH,,,,(2))

Từ (1) và (2) suy ra: (fracOEOH = fracODOE Rightarrow OE^2 = OD.OH)


Bài 1:Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh C, kẻ đường thẳng tuy nhiên song cùng với AD, đường này cắt BD tại p và giảm AB tại E. Qua D, kẻ con đường thẳng tuy vậy song với BC, con đường này giảm AC tại N và giảm AB tại F. Đường thẳng qua E song song với AC giảm BC trên Q và đường thẳng qua F tuy nhiên song cùng với BD giảm AD trên M.

1. Chứng tỏ bốn điểm M, N, P, Q nằm trong một mặt đường thẳng tuy vậy song với hai đáy.

2. Chứng minh MN = PQ

3. Mang lại AB = a, DC = b. Minh chứng rằng những điểm M, N, P, Q theo lắp thêm tự chia những đoạn trực tiếp AD, AC, BD, BC theo cùng một tỉ số k. Tính k theo a, b.

Giải

*

1. Ta có:

(MF//DB Rightarrow fracAMDM = frac mAFFB)

Mà FB = DC cần (fracAMDM = frac mAFDC,,,,(1))

(DC m // m AF Rightarrow fracAFDC = fracANNC,,,,(2))

Từ (1) và (2) suy ra (fracAMDM = fracANNC)

( Rightarrow MN,,,//DC,,,,,,,,,,,(3))

Tương tự, ta có: PQ // DC (4)

(MN//,,DC Rightarrow MN//,,AF Rightarrow fracAMMD = fracFNND.)

Dễ thấy (fracFNND = fracBQQC)

Vậy (fracAMMD = fracBQQC Rightarrow MQ//DC)

Từ (3), (4), (5) theo tiêu đề Ơclit, ta suy ra tứ điểm M, N, P, Q ở trên thuộc một con đường thẳng tuy nhiên song với DC.

2. Ta có: (fracMNDC = fracAMAD;,,fracPQDC = fracBQBC,, Rightarrow fracMNDC = fracPQDC Rightarrow MN = PQ.)

3. Hay thấy (fracMAMD = fracNANC = fracPBPD = fracQBQC = frac mAFDC = fraca - bb.)

Bài 2:Cho hình thang ABCD đáy béo CD; O là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Đường thẳng qua A tuy vậy song cùng với BC cắt BD sinh hoạt E và mặt đường thẳng qua B tuy nhiên song cùng với AD giảm đường trực tiếp AC tại F.

1. Chứng tỏ EF // AB.

2. Chứng minh hệ thức (AB^2 m = EF m.CD)

3. Gọi (S_1,S_2,S_3,S_4) theo sản phẩm tự là diện tích những tam giác OAB, OCD, OAD với OBC. Minh chứng hệ thức: (S_1.S_2 = S_3.S_4.)

Giải

*

1. Ta có

(eginarraylAE//BC Rightarrow fracOEOB = fracOAOC,,,(1)\BF//AD Rightarrow fracOFOA = fracOBOD,,,(2)\AB//DC Rightarrow fracOAOC = fracOBOD,,,(3)endarray)

Từ (1), (2) với (3) suy ra (fracOEOB = fracOFOA Rightarrow mEF//BC.)

2. Hay thấy AB = MC = DN

(AM//BC Rightarrow fracCDMC = fracDBEB)

Vì MC = AB buộc phải từ đây, ta có (fracCDAB = fracDBEB) (4)

( mEF//DC Rightarrow fracDNEF = fracDBEB)

Vì dn = AB đề xuất từ đây, ta bao gồm (fracABEF = fracDBEB,,,,(5))

Từ (4) với (5) suy ra (fracABEF = fracCDAB Rightarrow AB^2 m = EF m.CD)

3. Ta có

(eginarraylfracS_OABS_OBC = fracOAOC;fracS_OADS_OCD = fracOAOC Rightarrow fracS_OABS_OBC = fracS_OADS_OCD\ Rightarrow S_1.S_2 = S_3.S_4endarray)

Bài 3:Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM. đem một điểm D bất kỳ trên đoạn thẳng AM, J là giao điểm của BD cùng AC; I là giao điểm của CD cùng AB. Chứng tỏ IJ // BC.

Giải

*

Từ M kẻ đường thẳng song song với DC giảm AB ở p. Và kẻ đường thẳng song song với DB cắt AC nghỉ ngơi Q. Dễ dàng thấy.

IP = PB; JQ = QC

Ta có (MP//CI Rightarrow fracAIAP = fracADAM)

(MQ//BJ Rightarrow frac mAJAQ = fracADAM)

Suy ra (fracAIAP = frac mAJAQ Rightarrow mIJ//PQ,,,(1))

Ta lại có MP // CI ( Rightarrow fracMAMD = fracPAPI) cơ mà PI = PB